Un matemático al servicio de la física: Fourier **

Introducción

 

Hace 250 años nació el célebre matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, quien analizó un problema físico extremadamente concreto, el estudio de la distribución del calor en sólidos conductores, al cual dedicó prácticamente toda su vida académica. Fourier (1768-1830) introdujo un conjunto de ideas novedosas en el análisis matemático del momento cuyo impacto alcanza de lleno incluso hoy. Es más, dicho impacto es hoy mayor que nunca, pues está implícito en los numerosos avances tecnológicos de los que dependemos cada vez más. Todo el desarrollo de las telecomunicaciones se basa en el análisis de Fourier. Lo mismo sucede con numerosos avances médicos, como las diversas técnicas que existen para el diagnóstico no invasivo basado en imágenes médicas como los TAC, los MRI o los PET, así como el estudio cuantitativo del electroencefalograma, basado, en gran medida, en su análisis espectral. La astronomía utiliza técnicas de espectrometría que se fundamentan en fenómenos como la difracción de Fraunhofer, al utilizar dispositivos físicos que calculan, con lentes, la llamada “transformada de Fourier” de una imagen, y que permiten realizar afirmaciones sobre, por ejemplo, la composición de las estrellas y los planetas. También se utilizan ideas que tuvieron sus inicios en el trabajo de Fourier en áreas tan diversas como la geología —para la detección de bolsas de petróleo mediante fenómenos ondulatorios—, la química —donde la cristalografía es extremadamente importante—, la biología molecular —para el estudio del ADN, o de las proteínas—, el procesado y la codificación de imágenes digitales —que tiene importantes aplicaciones en áreas tan diversas como la robótica, la medicina, la identificación de objetivos militares a través del análisis de imágenes por satélite, o el almacenamiento de huellas digitales—, etcétera.

El Análisis de Fourier nació como disciplina el 21 de diciembre de 1807, cuando el matemático francés presentó ante la Academia de Ciencias de París su trabajo titulado Sobre la propagación del calor en sólidos. El objetivo de la memoria era estudiar la propagación del calor en un conductor, bajo diferentes hipótesis. La solución de este problema quedaba fuera del dominio de la mecánica racional y la mecánica celeste, por lo que para avanzar en ella fue necesario introducir nuevas técnicas en el planteamiento de los problemas de la física-matemática del momento, inaugurando un nuevo campo de estudio. Fourier dedujo las ecuaciones diferenciales que modelan el fenómeno de conducción del calor, esclareció el uso de condiciones de frontera, así como las condiciones iniciales para este tipo de problemas e, inspirado por las ideas que había introducido tiempo atrás Daniel Bernoulli (1700-1782) respecto al problema de la cuerda vibrante, propuso la solución de estos problemas físicos mediante el método de separación de variables, que él mismo introdujo. Esta técnica pasaba por descomponer cualquier función periódica con período dado como superposición de ondas sinusoidales —curva que representa gráficamente la función seno—, y una de las aportaciones claves de Fourier fue proporcionar una expresión explícita para los coeficientes que definen la contribución a la suma de cada vibración básica, afirmando la validez de su expresión para funciones “arbitrarias”. Precisamente en este punto surgieron las primeras dificultades, porque los miembros de la Academia que juzgaban la memoria no estaban de acuerdo con muchos de los argumentos que contenía, pero tampoco tenían argumentos convincentes que desmontaran las teorías de Fourier probando que estaba equivocado. Más bien sucedía exactamente lo contrario: los teoremas contenidos en la memoria, cuando conducían a cálculos concretos, encajaban a la perfección con las observaciones experimentales. Todo esto provocó una agitada discusión que se mantuvo álgida hasta casi la muerte de Fourier, en 1830. Durante el debate, Fourier redactó varias memorias en las que poco a poco fue perfilando sus ideas, y que culminaron con la publicación, en 1822, de su obra más importante, la Teoría analítica del calor, en las Mémoires de l´Académie (Memorias de la Academia), publicación de la Academia de Ciencias francesa. Para entonces, Fourier ocupaba el puesto de secretario perpetuo de la institución y, aunque el debate aún seguía abierto, ya gozaba del respeto de sus adversarios. Esta obra se considera una pieza clásica de física, y su prólogo, escrito en lenguaje muy evocador, es una reconocida joya de la literatura científica universal. De hecho, a Fourier se  le considera uno de los fundadores de la física matemática precisamente por esta contribución.

Fue en 1829 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alumno de doctorado de Fourier, proporcionó una elegante demostración de que las series de Fourier son convergentes para una amplia clase de funciones, depositando de forma definitiva el peso de la razón en el lado de la balanza del debate defendido por este. Tras esta contribución, surgieron nuevas preguntas cuya solución llevaría al establecimiento de un fundamento más sólido del mismísimo análisis matemático —al conducir, por ejemplo, hacia el estudio de las distintas formas de convergencia para sucesiones y series de funciones—, así como a la creación de nuevos temas de investigación, como la teoría de la medida, el análisis funcional, la teoría de conjuntos, el análisis armónico abstracto, al análisis en tiempo-frecuencia en sus diversas variantes o la teoría de ondículas, entre otros. El impacto del análisis de Fourier en matemáticas ha sido, por tanto, también inmenso.

En los primeros tres capítulos del libro se explican la vida y la obra de Fourier. Concretamente, en los capítulos 1 y 2 se expone cómo y por qué Fourier, de origen verdaderamente humilde, fue impulsado —por no decir arrastrado— por la Revolución francesa hacia posiciones que, de no haberse producido los cambios históricos que sucedieron, le habría estado vetadas. Así, pudo avanzar en la vida hasta el punto de ser primero alumno de la escuela Normal Superior y luego profesor en la Escuela Politécnica. Le habría gustado permanecer en París, dedicado a una vida académica como matemático, colaborando con aquellos a quienes admiraba, como era el caso de Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813). Sin embargo, no pudo elegir. Su participación en la vida política de Francia le vino impuesta al ser designado por Napoleón miembro de la comisión científica para la campaña de Egipto.

 

* acordero@fcfm.buap.mx