Las matemáticas han estado presente en todo el desarrollo de las sociedades, inicialmente surgen paralelamente al desarrollo del lenguaje, la idea de número satisface la necesidad de contar, y posteriormente la de medir en general. Pero igualmente la necesidad de medir no es resultado del ocio, sino que va acompañado de la actividad humana para tratar de encontrar explicaciones a los fenómenos que va observando en su desarrollo social, estableciendo como se corresponde una medición con otra, dando a lugar lo que se denomina como leyes de la naturaleza.
La idea de número natural, entero, racional, irracional y real, corresponden a necesidades de describir mediciones atribuidas a problemas que el mismo hombre se va planteando para entender su entorno. En la época antigua la matemática formaba parte de la lógica, de hecho parte de lo que nombramos lógica formal. Es decir, forma parte de cómo se estructura el pensamiento, y por mucho tiempo, se ha tomado como una “herramienta” para desarrollar la ciencia, sobre todo las llamadas ciencias exactas. Los trabajos de Isaac Newton para establecer sus leyes de movimiento, hacen desarrollar lo que en la actualidad conocemos como el Cálculo Diferencial e Integral, posteriormente estas ideas se desarrollan para generar lo que se llama ahora Análisis Funcional, que da sustento a nuevas teorías como el caso de la llamada Teoría de Control, que reforzando la idea de que la ciencia se desarrolla alrededor de problemas que la sociedad se va planteando, la Teoría de control tiene como uno de sus problemas clásicos el problema de la descripción de los misiles. Imagínese que se lanza un misil a una población enemiga, entonces también esa población enemiga, se plantea lanzar otro misil con la intención de derribar al primero, pero con la condición de que se tiene que lograr el alcance en el mínimo tiempo, para evitar una catástrofe. Este problema no se pudo resolver con el Cálculo de Newton, fue necesario establecer nuevas formas de visualizar la idea de función y como encontrar para dicho formalismo la idea de máximos y mínimos. Se cuenta que en esas épocas del inicio de la guerra fría entre la URSSS y los EEUU, como el problema no tenía una solución exacta por la distancia entre esos dos países, ya que el error para dicho lanzamiento superaba los 100 km, los rusos consideraron colocar un misil en Cuba, así obtener mejor probabilidad de dar en el blanco. Eso provocó una lucha diplomática hasta que los rusos declararon que para ellos ya no era necesario la colocación del misil en Cuba, pues ellos ya habían logrado resolver el problema mediante lo que ahora se nombra como “Principio del Máximo de Pontryagin”, entonces EEUU forzó a sus matemáticos a dar una respuesta al problema, dando respuesta mediante lo que ellos llamaron el “Principio del Bang Bang”.
Lo antes dicho es para establecer que los matemáticos se dividen en matemáticos puros y matemáticos aplicados, para diferenciar entre la actividad que ellos realizan, los puros trabajan estableciendo nuevos resultados sobre las áreas en las que ahora se divide la matemática, y los otros aplicando los resultados establecidos en la matemática a fenómenos que se estudian en diversas disciplinas del conocimiento. En esta última área deseo resaltar que la matemática aplicada pretende establecer lo que se llama modelo matemático del fenómeno estudiado. Buscar que las mediciones que se obtienen de la observación del fenómeno se relacionen mediante una expresión matemática.
Hay dos características a destacarse en esta dirección de trabajo, la primera es que el establecimiento de un modelo matemático provoca que uno tenga la capacidad de síntesis del fenómeno, darle estructura al estudio del fenómeno, de manera que uno tiene la posibilidad de plantearse nuevas preguntas y experimentos para comprobar que lo que establece el modelo está acorde con la realidad. La segunda es que uno tiene un instrumento con el que uno puede sustituir el experimento, por simplemente analizar las gráficas o expresiones que el modelo provee.
Veamos el siguiente ejemplo.
Supongamos que deseamos establecer ¿cómo es que el corazón es capaz de dar las palpitaciones? Este estudio está relacionado con la determinación de cuando se puede presentar un problema con el funcionamiento del corazón, cuando se puede presentar una arritmia, un paro, etcétera. Para dicho estudio los fisiólogos tradicionalmente utilizan corazón de conejo, de gato o de ratón, de los cuales utilizan células de las partes del corazón, sobre las que hacen registros de electrocardiogramas de dichas células. Se encuentra que estas células se comportan como las células neuronales que en los años 50’s establecieron Hodgkin y Huxley en Cambridge, Inglaterra. La gran mayoría de las células nerviosas generan una serie de breves pulsos de voltaje como respuesta a un estímulo. Estos pulsos se llaman potenciales de acción o espigas, que son originados cerca del cuerpo de la célula. Las células excitables poseen canales que permiten la entrada y salida de iones al interior de la célula. Las corrientes generadas por estos canales producen cambios de voltaje en la membrana celular generando el potencial de acción. El estudiar cómo se genera la corriente en los canales en condiciones normales es importante, ya que cualquier alteración de su cinética se asocia a una patología.
En el modelo de Hodgkin y Huxley se establecen ecuaciones para cada una de esas respuestas asociadas a los iones, pero para convertirlas a las corrientes medidas, propusieron elevar los valores obtenidos a unas potencias que ajustaban con los datos observados.
Si uno propone que la corriente de un canal iónico se genera haciendo las siguientes consideraciones:
1) Que los canales iónicos se componen por compuertas, las que pueden estar en alguno de estos tres estados, cerrado, abierto o inactivado.
2) Los canales solo puede conducir cuando se encuentran en el estado abierto.
3) La transición entre los estados se da como una reacción química reversible, solo que las velocidades de transición son funciones de tiempo y de voltaje aplicado.
Con estas suposiciones y aplicando la ley de acción de masas, se determina un sistema de ecuaciones diferenciales, al resolverlas, se determina la función estado abierto, en función del tiempo para cada voltaje, lo que permite encontrar la conductancia del canal en función del tiempo a cada voltaje. De esta manera es posible reproducir las corrientes registradas en células excitables aisladas, sin necesidad de ajustar los resultados a las potencias propuestas por Hodgkin y Huxley.
Con estos cambios en el modelo, se está proponiendo un mecanismo que apunta al mejor entendimiento de cómo funcionan las células del corazón y el uso de modelos como este reduciría el uso continuo de conejos, gatos o ratones para el estudio del corazón.
