Unas palabras al lector
Si estás leyendo esto seguramente eres, como yo lo soy, aficionado a quebrarte la cabeza y darte de topes con el primer rompecabezas mental que tengas a la mano. Esto puede parecer masoquista a los no iniciados en el gratificante placer de hallar la solución a un reto mental, pero, por supuesto, entre más grande el reto más grande el placer y mayor el estado de beatitud de nuestras meninges.
Este placer es una de las razones que me animan a escribir este libro para que goces la misma placidez que yo he experimentado. La segunda razón es mi propia afición a estos retos que, durante toda mi placentera y ya larga vida, me han proporcionado innumerables satisfacciones que me ponen en posición de pensar y crear soluciones. La tercera razón es librarnos del frustrante anatema que limita el uso de nuestras neuronas al cinco por ciento de ellas.
En varios retos, algunos de ellos conocidos, encontrarás soluciones diferentes a las clásicas pues no me satisfizo la solución tradicional. Y, querido lector, ésta es una recomendación: no te conformes con una sola solución a cada problema, busca varias soluciones diferentes pues eso será más divertido y te hará más creativo en la vida cotidiana.
Se presentan veintiséis retos porque este número me fascina. Es el único número cuyos vecinos son: un cuadrado (veinticinco) y un cubo (veintisiete); la suma de sus dígitos es un cubo (ocho); la diferencia de ellos es un cuadrado (cuatro); es el producto de dos números primos (dos y trece), etcétera…
Por último, acera del título de este libro: Exprimiendo neuronas, quiero comentarte que ésa es precisamente la idea, exprimirlas para sacarles jugo, el jugo de la creatividad y de la satisfacción de resolver los retos presentados.
Federico Alcaraz Lozano
1 Diofanto, un cheque y una tribu
Diofanto, filósofo griego en el siglo IV, estableció los principios de la teoría de los números ideando lo que ahora se conoce como Ecuaciones Diofánticas, que permiten resolver un reto, cuando la incógnita tiene que ser necesariamente un número entero.
Un reto clásico es el siguiente: Juan cambia un cheque en el banco, el cajero se equivoca y cambia las cantidades de pesos por l de centavos y viceversa. Juan se guarda el dinero sin contarlo y en camino pierde dos centavos de la cantidad que le dio el cajero. Cuando cuenta el dinero advierte que tiene el doble de la cantidad que marcaba el cheque.
¿De cuánto era el cheque?
…el cheque fue por la cantidad de $32,65, al cambiar el cheque el cajero entregó $65.32, como Juan perdió dos centavos, le quedaron $65.30 que es el doble de $32.65. ¡Fácil gracias a Diofanto! Aunque el número de soluciones es infinita (al menos matemáticamente).
Ahora, el reto es:
Si cuento los habitantes de una tribu sucede lo siguiente:
Si cuento de dos en dos, me sobra uno.
Si cuento de tres en tres, me sobra uno.
Si cuento de cuatro en cuatro, me sobra uno.
Si cuento de cinco en cinco, me sobra uno.
Si cuento de seis en seis, me sobra uno.
Pero si cuento de siete en siete, no me sobra ninguno.
¿Cuántos son los miembros de la tribu?
¿Cuántas soluciones tiene este reto?
2 Sembrando cuatro árboles
Uno de los retos de los jardineros y de los aficionados al arte de la floricultura es dónde plantar cada flor o árbol o arbusto. Los he visto plantar y cambiar de lugar, varias veces, una misma flor o cambiar completamente el jardín pues el arreglo no les place por completo. Cuando veo a alguna persona, conocida por supuesto, aprovecho para plantearle el siguiente reto que ya es clásico, es decir, que sale a relucir con cierta frecuencia.
La cuestión es: ¿De qué manera se pueden plantar cuatro árboles para que sus cuatro bases sean todas equidistantes entre sí?
8 El niño Gauss, una suma y una pirámide
El profesor de Carlos Federico Gauss (entonces un niño de nueve años) pidió a sus alumnos que sumaran los números del uno al cien, el niño Gauss razonó:
—Puedo arreglar esta serie de números así:
1+100 (suma igual a 101)
2+99 (suma igual a 101)
3+98 (suma igual a 101) …
50+51 (suma igual a 101)
Como cada término vale 101 y son cincuenta términos, por tanto, la suma es
101 x 50 = 5,050
De aquí la demostración de la fórmula
SUMA=1+2+3+4+5+…+(N-1) +N=N(N+1)/2
Esta demostración es válida para un número par de términos. ¿Puedes demostrarla para un número impar?
16 Napoleón, Lagrange y Mascheroni
Napoleón Bonaparte, conocido como “El Gran Corso por haber nacido en Córcega cuando ésta era posesión francesa, era un gran amante y protector de las ciencias y las artes. Un día llamó a Pierre Simón de Laplace, su astrónomo real y a Joseph Louis Lagrange, su matemático real. Bueno, así me contaron esta historia que, si no es verdadera, por lo menos es muy adecuada para este reto y la transcribo tal cual. Como dicen los italianos: Se non é vero é ben trovatto, que en traducción libre significa: Si no es verdad, suena bien.
Frente a ellos tomó un compás y dibujó un círculo, cerró el compás y les retó a que, usando sólo el compás sin usar regla, encontraran el centro del círculo.
Laplace, muy hábil, argumentando que Lagrange era el matemático real y él sólo era el astrónomo, se disculpó y se retiró. Lagrange se quedó y confieso que no sé si resolvió el problema, pero supongo que sí pues era un gran matemático.
Tiempo después, cuando Napoleón había conquistado lo que hoy es Italia, viajaba en un tren cuando se enteró que en el mismo estaba el célebre matemático italiano Lorenzo Mascheroni. Cuando éste llegó a su presencia, y después de los saludos que ordena el protocolo, Napoleón le planteó el mismo reto que a Laplace y a Lagrange. Mascheroni, con la solemnidad que la ocasión requería, solicitó permiso para traerle un regalo. Con la venia del emperador —ya se había proclamado así— Mascheroni le llevó un libro (La Geometría del Compasso), escrito por él, con la solución de mil problemas resueltos solamente usando un compás, y donde se incluía el reto que planteaba Napoleón. No lo sé, pero supongo que esto provocó algunos dolores de cabeza a Lagrange.
