En la lógica clásica existe un cierto “rechazo” hacia las contradicciones que, por lo general, tienen la forma de la conjunción de A y ¬A. Esto es a tal grado de que cuando nos encontramos con una contradicción, nos detenemos a buscar aquello que la originó para inmediatamente negarlo (lo cual constituye lo que conocemos como reducción al absurdo). Decimos que la lógica clásica es consistente precisamente porque no valida contradicciones. La “gravedad” de las contradicciones en la lógica clásica puede ser que, si se acepta cualquier contradicción entonces cualquier proposición se vuelve teorema, lo cual vuelve trivial la teoría en la que estemos trabajando (la proposición (A˄¬A)→B es teorema en la lógica clásica y puede interpretarse como “la contradicción dada por A y ¬A deduce cualquier proposición B”) y en una teoría trivial no hay diferencia entre sus proposiciones, pues todas son demostrables.
Esto conlleva a considerar que el “peligro real” de cualquier teoría no es que pueda tener contradicciones, ¡sino que pueda ser trivial! Aquí cabe preguntarse: ¿habrá lógicas que puedan tener contradicciones pero que no sean triviales? La respuesta es afirmativa; de hecho existen varias situaciones que motivan la existencia de teorías inconsistentes pero no triviales. A estas teorías las llamamos paraconsistentes.
Como un primer ejemplo, consideremos la paradoja descubierta por Bertrand Russell en 1901. Intuitivamente es válido el principio bajo el cual, dada una propiedad P, existe un conjunto de objetos que satisfacen tal propiedad P (por ejemplo dada la propiedad “x es número par” es intuitivo afirmar que existe un conjunto de números que satisfacen la propiedad e incluso por siglos lo hemos llamado como el conjunto de los números pares y es simple saber si un elemento pertenece o no al conjunto). Sin embargo, no con cualquier propiedad las cosas resultan tan bien. Si consideramos la propiedad es “x es un conjunto que no es elemento del mismo conjunto x” y definimos a R como el conjunto formado por aquellos conjuntos que satisfacen tal propiedad, es decir, R={x : x no es elemento de x}, parecería que no existe ningún inconveniente hasta que nos preguntamos si R pertenece a R o no. Si analizamos la definición de R observaremos que si R pertenece a R por la definición R no pertenece a R. Análogamente si R no pertenece a R entonces R pertenece a R, en ambos casos podemos llegar a una expresión del tipo A y ¬A, lo cual es una contradicción. En este punto tenemos dos opciones: desechar la idea de que cada propiedad define un conjunto como lo hicieran o cambiar la lógica para que este problema no la haga trivial. La primera opción dio pie al trabajo de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel; pero si optamos por la segunda podemos adaptar la lógica y convertirla en una lógica paraconsistente. Entonces R pertenece a R y R no pertenece a R, como antes, pero habrá propiedades que R sí cumple y otras que no, es decir, tendremos una teoría contradictoria pero no trivial: ¡una teoría de conjuntos paraconsistente!
En los principios del Cálculo podemos hallar otro ejemplo de una teoría inconsistente pero no trivial. Un infinitesimal se define como un número positivo con la propiedad de que es más pequeño que cualquier otro número. Cuando el marqués Guillaume de l’Hôpital escribió, en 1696, el primer texto de Cálculo, su primer principio establecía que “dos magnitudes que difieren por un infinitesimal son la misma”, es decir, dos magnitudes diferentes no lo son (cuando la diferencia es un infinitesimal). A pesar de esta inconsistencia, aquellos que desarrollaron el Cálculo obtuvieron resultados correctos y ciertamente no dedujeron cualquier resultado; nuevamente la teoría no es trivial. De no haber permitido este tipo de inconsistencias el cálculo no habría progresado y hoy la matemática no sería la misma.
Hace algunas décadas, Stanisław Jaśkowski y Newton da Costa propusieron, independientemente, el estudio de las lógicas que pudieran tener teorías contradictorias no triviales. Ellos son considerados los fundadores de lo que más tarde, el filósofo peruano Francisco Miró-Quesada llamó lógica paraconsistente. Diversos grupos en distintas partes del mundo, principalmente en Australia, Brasil, Estados Unidos y Polonia, han desarrollado distintos sistemas paraconsistentes y en la actualidad no existe una lógica paraconsistente sino una extensa gama de sistemas entre los cuales podemos mencionar las lógicas discusivas, lógicas adaptivas, lógicas para la inconsistencia formal, lógicas relevantes, algunas lógicas multivaluadas, etcétera.
Cada día estas lógicas adquieren mayor importancia no sólo por su papel dentro de la matemática y la filosofía sino por las aplicaciones que encuentran en diversas áreas. Entre ellas tenemos a la computación: para manejar bases de datos inconsistentes, en muchos enfoques de inteligencia artificial, por ejemplo para la representación y manejo de conocimiento o las creencias y el aprendizaje. En el derecho podríamos citar la lógica de las normas (Vernengo, Von Wright). También encuentra aplicaciones en la ciencia como posible “unificación” de teorías aceptadas pero que son lógicamente incompatibles, por ejemplo en física tendríamos el caso de la teoría general de la relatividad y la mecánica cuántica.
Bibliografía
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