Suma de fracciones

p-17aQuisiera comentar acerca de un problema difícil para los niños de primaria y secundaria, la suma de fracciones. Después de varios intentos he logrado cristalizar una propuesta junto con materiales concretos para llevarla a cabo.

Muchos autores afirman que las dificultades de los estudiantes con fracciones usualmente se derivan de una falta de comprensión conceptual. Pero hace crisis con la suma de fracciones, muchos estudiantes para sumar fracciones suman los numeradores y luego suman los denominadores, su confusión es grande y no se necesita ser adivino para saber que no podrán trabajar con las fracciones, prueba de ello es que muchos docentes saben que los alumnos rechazan abiertamente trabajar con fracciones.

Muchos estudiantes ven a las fracciones como símbolos sin sentido o miran el numerador y denominador como números separados, en lugar de comprenderlos como un todo. La labor docente de explicar los diferentes usos de las fracciones cae en terreno poco fértil, los aprendizajes esperados no llegan. La frustración de maestros y alumnos es el “denominador común”.

Mi propuesta se centra en la suma de fracciones. El problema es claro: no se ve un patrón fácil para el algoritmo, por eso es difícil sumar. Al sumar fracciones de diferente denominador no tenemos forma de prever el resultado, hace falta inventar ejercicios de cálculo mental con fracciones.

Una suma de fracciones como ¼ + 1/7 resulta un problema difícil ¼ + 1/7 = 11/28. Los niños no logran ver ni comprender por qué debe ser así. ¿Por qué la suma se expresa usando 1/28? ¿De dónde sale? El problema inicial era sumar un 1/4 más un séptimo, 1/28 no está en el enunciado ¿Quién lo invitó?

Supongamos que quiero enseñar a sumar fracciones a un niño, y trato de irlo llevando poco a poco hacia la comprensión de la regla, suponiendo que la suma de fracciones con el mismo denominador es fácil, el siguiente paso es sumar fracciones con diferente denominador: intentemos con las más fáciles, por ejemplo ½+1/3, ½ +1/4, ½+ 1/5  ½ +1/6

Pero la mayoría son un misterio total 1/3+1/4 = 7/12 ¿???  Mecanizar la regla no significa comprender, muchas explicaciones son una forma disfrazada de mecanizar. La labor docente es apoyar al alumno a “construir significados” no solo mecanizar a base de muchos ejercicios.

p-17bSon comunes los problemas de reparto de galletas, pizzas, entre un número de niños (no exacta) que nos lleva a fracciones; por ejemplo, cinco galletas entre tres niños, que no debemos confundir con dividir un pastel. Primero nos concentramos en sumar fracciones a partir de la unidad, posteriormente sumamos fracciones cuya suma sea mayor que la unidad, luego en problemas de reparto.

En 2015 ya tenía dos materiales para enseñar fracciones, uno a base de un hexágono dividido en partes y otro a base de un triángulo equilátero, ambos recordando el tangram chino, pero se necesitaban varios para poder trabajar con diferentes patrones geométricos. En enero de 2016 pasé unas vacaciones forzadas en el hospital, mientras esperaba recuperarme de una cirugía tuve que distraerme pensado en mi propuesta. Mi material tiene la desventaja de resultar un poco caro y me pregunté: ¿puedo inventar otro más barato? Si mi método funciona, el costo no debe ser un obstáculo, en mi cuarto del hospital además de otras camas sólo había un objeto sobre la pared: una especie de reloj, un círculo dividido en 24 partes.

Con ilustraciones de posiciones para el paciente cada dos horas; es decir, 2/24, para no sufrir por tener una posición fija en la cama (úlceras). Al principio no entendí los dibujos y menos los términos como  “decúbito supino”, pero sí se me prendió el foco para trabajar fracciones. Si lo clásico al hablar de fracciones es dividir un pastel entonces recordé que yo ya tenía un círculo divido en 36 partes y éste fue el inicio de mi nueva propuesta. El objetivo es convencer al alumno de que la suma de fracciones sí tiene un patrón y corresponde a “juntar porciones de pastel”. La propuesta es simpe: dividir un círculo en 24 partes, y con ellas trabajar con los divisores de 24; es decir, podemos ilustrar ½, 1/3, ¼, 1/6, 1/8 1/12 y 1/24. Con el material algunas fracciones equivalentes quedan incluidas ½ = 12/24, 1/3 = 8/24, ¼= 6/24 etcétera.

Ahora sumar fracciones que resultan en el círculo dividido ya no es un misterio, empezamos a ver un patrón 1/3 +1/4 puede convertirse usando equivalencias previamente ilustradas 1/3 + ¼ = 4/12 +3/12 = 7/12. El denominador común ya viene incluido en el material, además no podemos equivocarnos, pues en total hay 24/24, así que podemos fijarnos en lo que falta para la unidad y tenemos la respuesta correcta!!

En el hospital también se me ocurrió la idea de que las estrategias docentes deben ser como jugar al ajedrez, movemos una pieza a la vez y tratamos de visualizar nuestro siguiente movimiento, a veces debemos sacrificar una pieza para ganar el juego. El docente debe dar una clase con un propósito definido y pensar en el próximo movimiento, tal vez deba sacrificar un poco de tiempo en algunos temas, recordando que “sólo eres competente en lo que prácticas”. El alumno solo llegará a ser competente en la suma de fracciones si practicamos y avanzamos poco a poco para llegar a la comprensión de la regla general. En secundaria el alumno debe trabajar los demás usos e interpretaciones de las fracciones, no se puede comprender todo a la vez. Esto quiere decir que debemos tener paciencia, podemos considerar la fracción como razón o como operador a través de situaciones concretas, pero no debemos esperar que los alumnos dominen esto con un par de clases.

La suma de fracciones debe enseñarse a partir de manipular material concreto, previamente diseñado para ir ilustrando el patrón que nos conduce a la regla general: buscar el denominador común. El problema de ayudar a los niños con las fracciones merece toda nuestra atención e imaginación.

 

pzeleny@fcfm.buap.mx