Las matemáticas no nacieron plenamente formadas. Fueron haciéndose gracias a los esfuerzos acumulativos de muchas personas que procedían de muchas culturas y hablaban diferentes lenguas. Ideas matemáticas que se usan hoy datan de hace más de 4 mil años. Muchos de los descubrimientos humanos son efímeros; el diseño de las ruedas de carro fue muy importante para el Reino Egipcio, pero hoy día no es exactamente tecnología de vanguardia. Las matemáticas, por el contrario, suelen ser permanentes. Una vez que se ha hecho un descubrimiento matemático está a disposición de cualquiera y con ello adquiere una vida propia. Las buenas ideas matemáticas difícilmente pasan de moda, aunque la forma de implementarlas puede sufrir cambios espectaculares. Hoy seguimos utilizando métodos para resolver ecuaciones que fueron descubiertas por los antiguos babilonios. Ya no utilizamos su notación, pero el vínculo histórico es innegable.
Las matemáticas empezaron con los números, y los números siguen siendo fundamentales, incluso si la disciplina ya no se limita a los cálculos numéricos. Sobre la base de los números, las matemáticas han construido conceptos más sofisticados y se han desarrollado hasta construir un área muy amplia y variada del pensamiento humano, que va mucho más allá de lo que encontramos en un típico temario escolar. Las matemáticas de hoy tratan más de estructuras, pautas y formas que de los propios números. Sus métodos son muy generales, y a menudo muy abstractos. Tienen aplicaciones en la ciencia, la industria, el comercio, incluso las artes. Las matemáticas son universales y ubicuas.
Empezó con números. Por milenios, matemáticos de muchas culturas han creado una enorme superestructura cimentada en los números: geometría, cálculo infinitesimal, dinámica, probabilidad, topología, caos, complejidad, etcétera. La revista Mathematical Reviews, que registra cada nueva publicación matemática, clasifica la disciplina en casi 100 áreas mayores, subdivididas en varios miles de especialidades. Hay más de 50 mil matemáticos investigadores en el mundo que publican más de un millón de páginas de matemáticas al año. Matemáticas genuinamente nuevas, no sólo pequeñas variaciones sobre resultados ya existentes.
Para qué nos sirven los números. La mayoría de los modernos automóviles (y los teléfonos celulares) están ahora equipados con un GPS. Un pequeño dispositivo que, acoplado a nuestro automóvil, nos dice dónde estamos exactamente en cualquier momento y nos presenta un mapa que muestra las carreteras vecinas. Una voz puede decirnos por dónde ir para llegar a un destino especificado. Un componente esencial, que no es parte de la pequeña caja acoplada al automóvil, es el sistema de posicionamiento global (GPS), que comprende 24 satélites que orbitan alrededor de la Tierra (a veces más, cuando se lanzan los satélites de reemplazo). Estos satélites envían señales, y estas señales pueden utilizarse para deducir la posición del automóvil con un margen de unos pocos metros.
Las matemáticas entran en juego en muchos aspectos de la red GPS, pero aquí mencionaremos sólo uno: cómo se utilizan las señales para calcular la posición del automóvil. Las señales de radio viajan a la velocidad de la luz, que es aproximadamente 300 mil kilómetros por segundo. Una computadora a bordo del automóvil —un chip en la caja que compramos— puede calcular la distancia del automóvil a cualquier satélite dado si conoce cuánto ha tardado la señal en viajar desde el satélite al automóvil. Este tiempo es normalmente del orden de una décima de segundo, pero ahora es fácil medirlo de forma precisa. El truco consiste en estructurar la señal de modo que contenga información sobre el tiempo.
En efecto, el satélite y el receptor en el automóvil cantan una misma canción, y comparan su compás. Las <<notas>> procedentes del satélite irán ligeramente retrasadas respecto a las producidas en el automóvil. En esta antología, las letras podrían ir así:
Automóvil… una paloma, trátala con cariño que es…
Satélite… si a tu ventana llega una paloma…
Aquí la canción del satélite va unas tres palabras detrás de la misma canción en el automóvil. Satélite y receptor deben generar la misma <<canción>>, y <<notas>> sucesivas deben ser identificables, de modo que la diferencia de tiempo es fácil de observar. Por supuesto, el sistema de navegación por satélite no utiliza realmente una canción. La señal consiste en una serie de pulsos breves cuya duración está determinada por un <<código pseudo-aletorio>>. Este consiste en una secuencia de números que parece aleatoria pero que realmente está basada en una regla matemática. Tanto el satélite como el receptor conocen la regla, de modo que pueden generar la misma secuencia de pulsos.
La armonía del mundo. El principal apoyo empírico para el concepto pitagórico del univeso numérico procedía de la música, en donde habían advertido algunas notables relaciones entre sonidos armónicos y divisiones numéricas simples. Utilizando experimentos sencillos, ellos descubrieron que una cuerda pulsada produce una nota de un tono particular, entonces una cuerda de la mitad de longitud produce una nota extraordinariamente armoniosa, ahora llamada la octava. Una cuerda de una longitud dos tercios produce la siguiente nota más armoniosa, y una de tres cuartos de longitud también produce una nota armoniosa.
Hoy esos aspectos numéricos de la música se remiten a la física de las cuerdas vibrante, que se mueven en pautas ondulatorias. El número de ondas que pueden encajar en una longitud dada de cuerda es un número entero, y estos números enteros determinan las razones numéricas simples. Si los números no forman una razón simple, entonces las notas correspondientes interfieren, produciendo <<batidos>> discordantes que son desagradables al oído. La historia completa es más compleja, e incluye aquello a lo que el cerebro está acostumbrado, pero hay un argumento físico preciso tras el descubrimiento pitagórico.
Para qué nos sirve la aritmética. Nosotros utilizamos la aritmética continuamente en nuestra vida diaria, en el comercio y en la ciencia. Hasta el desarrollo de las calculadoras electrónicas y las computadoras hacíamos los cálculos a mano, con papel y lápiz, o utilizábamos ayudas tales como el ábaco o un libro impreso con tablas de múltiplos de cantidades de dinero. Hoy la mayor parte de la aritmética se hace electrónicamente entre bastidores: las cajas del supermercado dicen ahora a las cajeras cuánto dinero deben devolver, por ejemplo, y los bancos nos dicen el total de nuestra cuenta automáticamente, en lugar de tener un contador que lo haga. La cantidad de aritmética <<consumida>> por una persona normal durante un solo día es sustancial.
La aritmética por computadora no se realiza realmente en formato decimal. Las computadoras utilizan un sistema de base 2, o binario, y no de base 10. En lugar de unidades, decenas, centenas, millares y demás, las computadoras utilizan 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y así sucesivamente: las potencias de dos, cada una de ellas doble de su predecesora. (Por esto la tarjeta de memoria de su cámara digital viene en tamaños como 256 megabytes.) En una computadora, el número 100 se descompone como 64+32+4 y se almacena en la forma 1100100.
Para qué sirve el cálculo infinitesimal. Las ecuaciones diferenciales abundan en la ciencia: son de lejos la manera más común de modelar sistemas naturales. Por escoger una aplicación al azar, se utilizan rutinariamente para calcular las trayectorias de las sondas espaciales, tales como la misión Mariner a Marte, las dos naves Pioneer que exploraron el sistema solar y nos dieron imágenes maravillosas de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, y los recientes vehículos robóticos de seis ruedas Mars Rovers Spirit y Opportunity que exploraron el Planeta Rojo.
La misión Cassini, que actualmente explora Saturno y sus lunas es otro ejemplo. Entre sus descubrimientos está la existencia de lagos de metano y etano líquido en Titán, una luna de Saturno. Por supuesto, el cálculo infinitesimal no es la única técnica utilizada por misiones espaciales; pero sin él, estas misiones nunca habrían despegado literalmente del suelo.
De forma más práctica, toda aeronave que vuela, todo automóvil que viaja por carretera y todo puente colgante y edificio a prueba de terremotos debe su diseño en parte al cálculo infinitesimal. Incluso nuestra comprensión de cómo cambia el tamaño de las poblaciones animales con el tiempo deriva de ecuaciones diferenciales. Lo mismo sucede con la difusión de las epidemias, donde modelos basados en el cálculo infinitesimal se utilizan para planificar la forma más eficaz de intervenir y prevenir la expansión de la enfermedad.
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