Más allá de los números, Meditaciones de un matemático *

Introducción

Este libro es en parte un diccionario, en parte una recopilación de ensayos matemáticos cortos y en parte las reflexiones de un matemático. A pesar de contener muchas entradas (ensayos breves) ordenadas alfabéticamente que describen una amplia gama de temas matemáticos, lo que le distingue de un diccionario es que las entradas son menos globales, más largas y, en muchos casos, muy poco convencionales.

Por necesidad, el libro contiene más información que la mayoría de recopilaciones de ensayos. Sin embargo, he intentado mantener el tono personal y unificador típico de éstas. En otras palabras, este libro ha sido escrito por un individuo con sus intereses concretos (no todos matemáticos), sus predisposiciones (las matemáticas como arte liberal y no sólo como herramienta técnica) y sus estrategias pedagógicas (como el empleo de cuentos y aplicaciones poco usuales). Aunque el tema no sea yo, sino las matemáticas, no he hecho ningún esfuerzo por no aparecer en el cuadro, con la esperanza de servir de guía personal al lector de un tema que amedrenta a muchos. El público al que me dirijo es inteligente y culto, pero generalmente anumérico (matemáticamente analfabeto).

 

 

 

Coincidencias

 

Las coincidencias nos fascinan. Parece como si nos obligaran a buscarles un significado. Sin embargo, más a menudo de lo que alguna gente piensa, son completamente esperables y no precisan una explicación especial.

Concretando más, puede demostrase, por ejemplo, que si dos extraños se sientan juntos en un avión, más de 99 por ciento de las veces estarán unidos de alguna manera por dos o menos intermediarios. (La relación con el compañero de curso de mi padre era más sorprendente. Sólo había un intermediario, mi padre, y contenía otros elementos.) Quizá, por ejemplo, el primo de uno de los pasajeros conozca al dentista del otro. La mayoría de las veces la gente no descubre estas relaciones porque en una conversación casual nadie suele hacer un repaso de sus aproximadamente mil 500 conocidos de sus conocidos. (Imagino que al popularizarse cada vez más los ordenadores de sobremesa podrían comparar sus respectivas bases de datos personales y también los de las personas conocidas. Quizás intercambiar bases de datos podría convertirse pronto en algo tan corriente. Tejiendo una red electrónica. Infernal.)

Consideremos el famoso problema del cumpleaños en teoría de probabilidad. Habría que reunir 367 personas (una más que los días de un año bisiesto) para estar seguro de que al menos dos de ellas celebran el cumpleaños en el mismo día. Pero si se quiere tener sólo una probabilidad del 50 por ciento de que esto ocurra basta con reunir 23 personas. En otras palabras, si imaginamos una escuela con miles de clases, cada una de las cuales tiene 23 alumnos, entonces aproximadamente la mitad de las clases tiene dos estudiantes que nacieron el mismo día. No hay que perder ni un minuto en tratar de explicar el significado de estas u otras coincidencias. Simplemente ocurren.

 

Números arábigos

 

Un mercader alemán del siglo XV preguntó a un eminente profesor dónde tenía que mandar a su hijo para que recibiera una buena formación mercantil. El profesor le contestó que las universidades alemanas bastarían para que el muchacho aprendiera a sumar y a restar, pero que para aprender a multiplicar y dividir tenía que ir a Italia. Antes de sonreír indulgentemente, intentad multiplicar, o aunque sólo sea sumar, los números romanos CCLXIV, MDCCCIX, DCL y MLXXXI, sin convertirlos previamente.

Puede que los números sean eternos e invariantes, pero los numerales, o símbolos empleados para representarlos, no lo son y la anécdota anterior sirve para ilustrar qué fácil es dar por supuesto el sistema de numeración indo-arábigo que usamos actualmente. La historia de los sistemas de numeración es muy larga y va desde la prehistoria hasta la adopción de nuestro actual sistema, en el Renacimiento. Los protagonistas de la historia son escribas, contables, monjes y astrónomos anónimos que descubrieron los principios de la representación sistemática de los números.

 

Sistemas de votación

 

¿Cómo toman las decisiones las sociedades democráticas? La respuesta es “votando”, pero ¿qué significa esto?, si como suele ocurrir, hay más de dos opciones posibles. Como a menudo un buen ejemplo ilustrativo vale más que páginas y páginas de explicación rigurosa, supongamos, a modo de ilustración, que hay cinco candidatos a la presidencia de una pequeña organización. Aunque todos los miembros del grupo ordenan los cinco candidatos según sus preferencias, el ganador depende críticamente, como veremos, del sistema de votación empleado.

Ahora hay que concretar los números. Supongamos pues que hay 55 electores y que ordenan los candidatos según sus preferencias con el resultado siguiente:

18 electores ordenan los candidatos así: A, D, E, C, B

12 electores ordenan los candidatos así: B, E, D, C, A

10 electores ordenan los candidatos así: C, B, E, D, A

9 electores ordenan los candidatos así: D, C, E, B, A

4 electores ordenan los candidatos así: E, B, D, C, A

2 electores ordenan los candidatos así: E, C, D, B, A

Los partidarios del candidato A quizás digan que habría que usar el método de pluralidad, por el que gana el candidato votado más veces en primer lugar. Con este método gana A fácilmente.

Los partidarios de B quizá digan que debería hacerse una segunda vuelta entre los dos candidatos más votados. En la segunda vuelta B gana con facilidad a A (18 electores prefieren A a B, pero 37 prefieren B antes que A).

La gente del candidato C han de pensar un poco más para encontrar un método que le dé como vencedor. Sugerirán que eliminemos primero al candidato con menos primeros lugares (en este caso E) y que luego reajustemos los votos para el primer lugar de los que quedan (A tiene todavía 18, B tiene ahora 16, C tiene 12, y D sigue con 9). De los cuatro candidatos que quedan eliminamos al que tenga menos primeros lugares y reajustamos la lista de los restantes candidatos (C queda ahora con 21 votos para el primer lugar). Seguimos con este procedimiento de eliminar el candidato con menos votos de primer lugar. Con este método, C se proclama vencedor.

 

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