Hologramas realizados con computadoras

En el Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica (INAOE), el proyecto de hologramas digitales es interdisciplinario; se realizan hologramas digitales por ordenador, en el grupo de holografía y materiales suscrita a la coordinación de óptica. Pero el volumen de cálculos para realizar un holograma digital es muy masivo. Por ello se utilizan los recursos de súper cómputo de la Coordinación de Ciencias Computacionales. Se necesitan un sistema de foto reducción muy eficiente para escribir el código holográfico en puntos del tamaño de entre 1 y 10 micras. Estos son realizados por un sofisticado aparato que fue diseñado para escribir microcircuitos, pero en nuestro caso es adaptado para escribir hologramas, en el laboratorio de Micro-Electro-Mechanical-Systems (MEMS) de la coordinación de electrónica.

 

Figura 1a. Objeto de 300x260 pixeles

Figura 1a. Objeto de 300×260 pixeles

Fotografías vs. hologramas

Una fotografía es la imagen grabada en intensidad de luz y color sobre un material fotosensible en una emulsión de gelatina que tiene sales de plata y pigmentos. Los hologramas tienen también la misma capacidad, pero además colectan la información del frente de onda de la imagen (la forma real de la imagen al propagarse). Se utiliza un haz de referencia conocido para recuperar la información del frente de onda.

 

Frente de onda 

Al iluminar un objeto, la luz que reflejada manda la información del frente de onda. Este frente es una modulación de fase determinada por cuatro parámetros básicos: 1) intensidad y color; 2) tamaño, forma y detalles del objeto 3D; 3) la distancia objeto y receptor (material fotosensible), y 4) posición de la ventana de visión del receptor (tamaño del material fotosensible). Toda esta información no puede ser detectada directamente por una película fotosensible, pero al superponer la información del frente de onda con un haz de referencia se crea un patrón de interferencia real en intensidad, que puede ser grabado sobre un material fotosensible, el cual es conocido como holograma.

 

Figura 1b. Frente de onda 1200 x 1040 pixeles

Figura 1b. Frente de onda 1200 x 1040 pixeles

Frente de onda y holograma calculado por computadora

Los cuatro puntos descritos que forman el frente de onda son los parámetros usados para generarlo en un ordenador. A partir de las dimensiones del objeto y la distancia al receptor, se calcula la distancia, punto a punto de la imagen digitalizada del objeto, a punto a punto de las dimensiones del receptor. Este es el cálculo computacional más laborioso y pesado para cualquier ordenador. Tanto la imagen como el receptor se muestrean en unidades gráficas computacionales llamados pixeles. Además, cada imagen tiene tres paletas de color: rojo, verde y azul. La Figura 1a describe un objeto con 300 x 260 pixeles, el cual es mapeado a un plano receptor, donde se forma el frente de onda (Figura 1b), después, al sumarse con un haz de referencia, se forma el holograma (Figura 1c), éstos tienen un tamaño cuatro veces el del objeto, es decir, 1200 x 1040 pixeles.

 

Figura 1c. Holograma de Fresnel-Kirchoff 1200 x 1040 pixeles

Figura 1c. Holograma de Fresnel-Kirchoff 1200 x 1040 pixeles

Reconstrucción del holograma

El proceso de reconstrucción también requiere de grandes recursos computacionales obtener la transformada de Fourier del holograma de la Figura 1c (ver Figura 2). Por otro lado, para una reconstrucción óptica de este holograma (Figura 1c) se ilumina con una onda de referencia plana, después pasa por una lente y en la distancia focal se observa la reconstrucción del holograma similar a la Figura 2. La imagen que se observa en esta figura es la imagen original y su conjugado. En este ejemplo no se aprecia el factor de 3D porque el objeto es una fotografía, pero este mismo proceso se hace para objetos 3D.

 

Cálculos para generar el frente de onda

El proceso que se ejemplifica en este manuscrito es el siguiente: el objeto (Figura 1a) tiene 300 x 260 pixeles, lo que corresponde a 78,000 pixeles, estos se sumarán a cada pixel para formar el frente de onda (Figura 1b) que son 1,200 x 1,040 es decir 1,248,000 pixeles. Entonces, las distancias entre dos puntos: desde uno del objeto hasta otro del receptor, está dado por dos sumas, tres restas, tres exponentes cuadrados, y un exponente radical, es decir, nueve operaciones para obtener la distancia de un solo punto. Con estas distancias se construyen ondas, lo que correspondería a seis productos, dos divisiones, un exponencial y un módulo, esto es para una sola onda le corresponden en total 19 operaciones, más la suma de todas ellas 78,000 x 1,248,000.

Entonces, para el cálculo de todas las ondas, de todos los puntos, tenemos 19 x 78,000 x 1,248,000 + (78,000 x 1,248,000) =  1,946,880,000,000 operaciones. Es decir, 1 billón 946 mil 880 millones de cálculos para obtener la Figura 1b. Una vez obtenida la Figura 1b, es fácil y rápido hacer el holograma (Figura 1c). La reconstrucción (Figura 2), dependiendo del tipo de holograma, puede ser rápida o laboriosa. Para este manuscrito hicimos un holograma tipo Fourier sin lentes, cuya reconstrucción es rápida. Todo este cálculo es sólo para una paleta de color, en este caso correspondiente al rojo, si se incluyen las demás paletas, verde y azul, el número de cálculos final sería tres veces más de lo calculado.

 

Figura 2. Reconstrucción numérica del holograma en la Figura 1c

Figura 2. Reconstrucción numérica del holograma en la Figura 1c

La necesidad de supercómputo

El objeto mostrado en este manuscrito es pequeño, de 300 x 260 pixeles; sin embargo, en el campo de la holografía digital, los objetos son de muy alta resolución ya que es necesario tener todos los detalles de la escena con imágenes de 10,000 x 10,000 pixeles. Los hologramas son generalmente, como mínimo, cuatro veces el tamaño del objeto en pixeles. Por lo tanto, hacer este tipo de cálculos en ordenadores convencionales no es viable. Sin embargo, con la herramienta de súper cómputo del INAOE es posible hacer este tipo de hologramas.

Un holograma de 10,000 x 10,000 pixeles, al fotorreducirse tendría dimensiones de 1 cm cuadrado. Es decir, si queremos tener un holograma físico de 10 cm x 10 cm, el holograma generado por computadora debería tener 100,000 x 100,000 pixeles. Entonces los cálculos para formar el frente de onda son colosales, sin embargo, con súper cómputo el cálculo sería de varios días de cpu con 20 procesadores en paralelo.

Podemos entonces concluir que la herramienta de supercómputo es indispensable para hacer hologramas digitales, por la capacidad de trabajar con múltiples procesadores en paralelo. Pero, además, es esencial utilizar propiedades de simetría para reducir los tiempos de cálculo. Con el laboratorio de súper cómputo y el laboratorio de MEMS es viable diseñar y realizar hologramas por computadora en el INAOE.

 

olivares@inaoep.mx