Alrededor de 1704, por la necesidad de describir el movimiento de una partícula, el inglés Isaac Newton crea el concepto de derivada y como consecuencia el de integral. Teniendo la derivada de una función, la integral era necesaria para recuperar la función de donde proviene esa derivada. La integración es, en un sentido, la operación inversa de la derivación. La invención de la primera no solo se le atribuye Newton. También a inicios del siglo XVIII el alemán Gottfried Leibniz desarrolló investigaciones que le llevaron a conceptos semejantes. Ambos buscaban herramientas que les ayudaran a resolver problemas de la Física. Por ejemplo, en 1704 el Tractus de quadrature curvarum, obra en la que Newton inicio el Cálculo Diferencial e Integral, fue publicado como un apéndice de su obra Óptica [1]. En el siglo XVIII el concepto de función estaba ligado al de serie (sumas infinitas), así que conociendo su derivada, muchas de estas funciones se podían recuperar por medio de la integral. Con el desarrollo del concepto de función, se encontraron muchas de estas que no podían integrarse con la integral de Newton.
A finales de 1807 el matemático francés Joseph Fourier publicó un trabajo sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos, donde dedujo la ecuación que gobierna esta propagación y en donde plantea que para hallar su solución era necesario expresar la función como una serie trigonométrica. Dada una función de período 2π, el problema consistía en encontrar una serie de senos y cosenos (trigonométrica) que coincidiera con la función. Él propuso que los coeficientes de esa serie deberían ser integrales de productos de la función y un seno o un coseno, estos últimos con un parámetro adicional. Esencialmente lo que propuso fue un problema que no resolvió del todo, en donde se involucran conceptos como: función, integral, sumas de series y tipos de convergencia. En 1829, Peter Gustav Dirichlet demuestra que la serie de Fourier de una función monótona y continua a trozos converge al promedio de sus límites laterales, lo cual representaba un avance muy grande en el problema planteado por Fourier. Poco después, Dirichlet exhibió su famosa función, la cual vale cero en los números irracionales y uno en los racionales. Los coeficientes de su serie de Fourier no podían expresarse como una integral. Este hecho lleva a ampliar el concepto de función. En ese tiempo, prevalecía el uso de la integral inventada por el matemático francés Agustin Louis Cauchy, esta se complementaba con la de Newton-Leibnitz, teniendo diferentes procesos en su definición. La de Cauchy era constructiva y la de Newton-Leibnitz era deductiva; se define como aquella función tal que su derivada es la función de origen. El principio básico de la integral de Cauchy consiste en considerarla como un límite de suma de áreas de rectángulos con base en pequeños intervalos. Por ese tiempo, se consideraba que las funciones eran aquellas expresiones matemáticas cuya gráfica se podía trazar sin despegar el instrumento de escritura. Esto es, la integral de Cauchy funcionaba muy bien para funciones continuas y la de función de Dirichlet no tiene puntos de continuidad.
En 1854, para algunos autores 1856, el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann define una integral que generaliza la de Cauchy. Prueba que, bajo su integral, algunas funciones cuyo conjunto de discontinuidades es infinito pueden integrarse. Un año después de dar a conocer su integral y empleando esta, Riemann demuestra un resultado fundamental en el Análisis de Fourier, actualmente conocido como el Lema de Riemnn-Lebesgue, el cual consiste en que los coeficientes de una serie de Fourier tienden a cero cuando el parámetro involucrado tiende a infinito. Esta nueva integral permite que, en 1881, Camille Jordan mejorara el resultado de Dirichlet relativo a que la serie de Fourier de una función monótona y continua a trozos es el promedio de esta. Dirichlet prueba que el resultado de Dirichlet también es válido para funciones de variación acotada, concepto más general que el de función monótona.
En 1902, Lebesgue publica su tesis “Integral, longitud y área”. En esta da a conocer la integral que actualmente lleva su nombre y que generaliza a las mencionadas anteriormente. Un año después de dar a conocer su integral, Lebesgue inicia el estudio de las series y transformada de Fourier. Esta última se expresa como una integral similar a la de los coeficientes de una serie de Fourier pero para intervalos de longitud infinita. Con la integral de Lebesgue, la función propuesta por Dirichlet puede ser integrada y los coeficientes de Fourier de esta función pueden ser evaluados, valen cero. Lebesgue prueba en 1906 que el resultado de Riemann sobre la convergencia a cero de los coeficientes de una serie de Fourier y que la transformada de Fourier también es válido empleando su integral. Por lo cual, actualmente se le conoce como Lema de Riemann-Lebesgue. Si bien la integral de Lebesgue es la más empleada actualmente, una problemática que se presenta con las integrales definidas hasta esta, es que no logran del todo ser el proceso inverso de la derivada. Existen muchas derivadas de funciones que no pueden ser integradas.
Los franceses Arnaud Denjoy, en 1912, y Oskar Perron, en 1914, construyeron, por separado, integrales que lograban integrar cualquier función derivada. Como ha sucedido en el desarrollo de la matemática, poco tiempo después se demostró que las integrales de Denjoy y Perron eran equivalentes, por lo que actualmente se conoce como integral de Denjoy-Perron. No todo podía salir bien, la teoría alrededor de la integral de Denjoy-Perron no es muy manejable y actualmente su uso no se ha popularizado. Con la misma idea de integrar cualquier función derivada y por motivos de otra índole, entre estos la de resolver ciertas ecuaciones diferenciales e integrales, en 1957 el entonces checoslovaco Jaroslav Kurzweil y dos años después el inglés Ralph Henstock definen, por separado, integrales que resuelven el problema de inversión de la derivada. Posteriormente se presenta otra vez el hecho de que las integrales de Henstock y Kurzweil, para funciones definidas en la línea real, eran equivalentes. Su método emplea la idea de Cauchy y Riemann.
Dada una función f definida en un intervalo Τ, su integral en el sentido de Riemann es el número real β, para el cual se satisface que: para cada ε positiva existe una δ, también positiva, tal que para cada partición P del intervalo T cuyos sub-intervalos tienen longitud menor que δ, se cumple que la diferencia de la suma de las áreas de los rectángulos con altura igual al valor de la función evaluada en algún punto del subintervalo y el número β es menor que ε. La idea de Henstock y Kurzweil fue tomar esa δ no como una constante sino como una función, lo cual permite modular el comportamiento de la función sobre los subintervalos definidos por particiones apropiadas. Posterior a la invención de la integral de Henstock-Kurzweil, se demostró que es equivalente a la de Denjoy-Perron, lo cual es muy importante porque permite obtener resultados que estaban pendientes de resolver con la de Denjoy-Perron. Una característica importante de la integral de Henstock-Kurzweil es que para funciones definidas sobre intervalos, acotados o no, es más general que la de Lebesgue. Esto no la hace mejor ni peor, sólo diferente, y en muchas ocasiones permite aplicarla más fácilmente para desarrollar teoría matemática ligada a la integración. Un caso sobre de aplicación es el Análisis de Fourier.
Actualmente la integral de Lebegue es la más empleada en la matemática. Sin embargo, siguiendo la dinámica histórica que liga la integral y el análisis de Fourier, en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, el Dr. Juan Alberto Escamilla, algunos alumnos de licenciatura, maestría y doctorado, y el que esto escribe conformamos un grupo de investigación que entre algunas de sus tareas ha empleado la integral de Henstock-Kurzweil en el análisis de Fourier, obteniendo, a nuestro parecer, resultados interesantes. Entre otros, hemos generalizado el Lema de Riemann-Lebesgue y ampliado algunos espacios de funciones en donde algunas propiedades fundamentales de la transformada de Fourier son válidas. Además de sentirnos a gusto con nuestra investigación y de sus frutos, tenemos la satisfacción de haber graduado en esta línea de investigación a los doctores María Guadalupe Morales y Luis Ángel Gutiérrez, y a cerca de 20 estudiantes de maestría y licenciatura. Actualmente Lupita es integrante del Sistema Nacional de Investigadores y realiza su segundo año de posdoctorado en el Departamento de Matemáticas de la UAM-I. Por otro lado, Luis Ángel es profesor de la UDLAP.
Referencias
[1] Rey Pastor Julio y J. Banini, 1986, Historia de la Matemática, Vol. 2, Barcelona, España Gedisa.
Duoandikoetxea, Javier, 2003, Lecciones sobre las series y transformadas de Fourier, Managua, UNAN.
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