Veamos algunos problemas interesantes:
Problema 1
Sean A, B y C tres puntos en la recta real. Supongamos que C está entre A y B.
¿Podemos unir los puntos A y B, con un segmento contenido en la recta sin que dicho segmento “toque” al punto C?
Problema 2
Dados seis puntos en el plano Cartesiano (R²), unir cada uno de ellos con todos los demás. No se permite que el “camino” tenga cruces, tampoco que caminos diferentes se crucen, sólo se pueden tocar en los extremos.
casa 1 casa 2 casa 3
Luz agua teléfono
Hay quienes afirman que la vida inteligente no podría haberse desarrollado en un espacio de dimensiones 4, 5, …, porque estos espacios no permiten orbitas planetarias estables. Entonces la vida inteligente debería desarrollarse en 1, 2 o 3 dimensiones, pero por los ejemplos en dimensiones 1 y 2 no es posible, pues un cerebro requiere una gran cantidad de células nerviosas unidas de dos en dos mediante nervios que no deben cortarse.
Así que la única forma de hallar vida inteligente sería en un espacio de dimensión 3.
Problema 3
Mismo problema de los seis puntos:¿Habría situaciones “intermedias” entre el plano (R²) y subconjuntos del espacio (R3).
Por ejemplo, en una superficie como un cilindro, una esfera, etcétera. Veamos el siguiente objeto topológico: la banda de Möbius. La banda de Möbius es una superficie descubierta por el matemático y astrónomo alemán F. A. Möbius en el año 1865. En esta superficie nuestros sentidos y nuestra intuición se ven con frecuencia desorientados.
¿Qué pasaría si nuestro mundo fuera la banda de Möbius? ¿Podemos unir nuestros seis puntos en la banda de Möbius?
En la banda de Möbius se pueden conectar hasta un máximo de seis puntos. Compruebe que en un neumático de automóvil o una dona (en Topología llamado Toro) se pueden conectar hasta un máximo de siete puntos sin que los caminos se corten.
Ahora, en un cilindro, recorra el cilindro por “fuera”, ¿puede llegar al interior del cilindro sin pasar por los bordes? Decimos que el cilindro tiene dos caras. Ahora en la banda de Möbius, recorra la banda de Möbius por “fuera”, ¿puede llegar al interior de la banda de Möbius sin pasar por los bordes?
Hacer el dibujo del recorrido en la banda de Möbius.
Notaremos que si comenzamos nuestro recorrido por “fuera” de la figura, llegaremos a la cara “interior” sin pasar por el borde. Decimos que la banda de Möbius sólo tiene una cara. El cilindro tiene dos bordes y la banda de Möbius sólo uno.
También decimos que la banda de Möbius no es orientable. ¿Qué significa que una superficie sea orientable?
Una forma de entender esto sería el hecho de que si una persona diera una vuelta completa a un mundo situado en esta superficie se encontraría con el corazón a la derecha, mientras que una persona que no ha viajado lo mantendría en su lugar.
Problema 4
Se construye una casa sin puertas, ni ventanas, ni hoyos. Supongamos que tenemos un punto P dentro de la casa, y un punto Q fuera de la casa. ¿Podemos unir el punto P con el punto Q, con un segmento (camino) de tal manera que dicho segmento no toque el techo, las paredes, ni el piso de la casa?
Esos problemas tienen que ver con el concepto de dimensión en matemáticas. Espero que se diviertan resolviéndolos.
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