La matemática en su forma empírica tiene inicios poco claros ya que estuvieron envueltos en cierto halo de misterio, los Pitagóricos astrónomos consumados le daban un cierto poder mágico a los números, hasta que en el siglo VI a. C. Tales de Mileto cuyo esquema compara un primer triángulo formado por la altura de una pirámide, su sombra proyectada en la arena y el rayo de sol rasante, con un segundo triángulo, construido, a su vez, por un cuerpo cualquiera, accesible en su altura, por la proyección también de su sombra, y por un rayo luminoso semejante, es decir Tales recrea las condiciones para estudiarlas y formular un resultado general. Sin embargo, estos inicios mágicos tuvieron una influencia en muchas generaciones de filósofos como Platón, quien pensaba que las matemáticas ya estaban hechas y éstas habitaban en el mundo de las ideas y lo que los filósofos debían hacer era descubrirlas; muchos científicos consideran a las matemáticas como una herramienta, las consideran: “el lenguaje con el que está escrita la naturaleza”. Así muchos de los ahora llamados matemáticos aplicados consideran que la matemática debe surgir y tener aplicaciones a problemas concretos. Es mi objetivo dar un ejemplo donde la matemática surge de tratar de resolver un problema teórico y tiene una aplicación fundamental en el mundo contemporáneo.
Límite circular I
Euclides de Alejandría es un filósofo griego del siglo tercero antes de nuestra era, él es conocido porque escribió: Los Elementos, tratado que está compuesto por 13 libros; algunos tratan sobre geometría, otros sobre aritmética, la gran mayoría de las proposiciones contenidas en Los Elementos ya existían cuando apareció Euclides; algunas son atribuidas a matemáticos que lo precedieron en más de 200 o 300 años. En ningún momento se ha atribuido a Euclides la autoría original de las proposiciones que aparecen en su magna obra. Su labor como revisor fue titánica, pues tuvo que encontrar las definiciones más precisas, los postulados más sencillos y el orden adecuado de las proposiciones. Los Elementos es la obra matemática antigua más importante e influyente a partir del siglo III a. C. hasta finales del siglo XIX. Los Elementos en las versiones modernas, constan de 132 definiciones, cinco postulados, cinco axiomas y 465 proposiciones distribuidas en 13 libros. El antiguo profesor alejandrino no sólo enseña una ciencia, sino que, en cierto modo, parece empeñado en enseñar a aprenderla y construirla. Los Elementos contenían el acervo primordial y común de los geómetras alejandrinos y por ende de los matemáticos helénicos.
Los Elementos marcaron un hito decisivo en la geometrización de las matemáticas y de sus dominios de aplicación.
Euclides se convierte en el epónimo no tanto de una disciplina matemática como de un método de axiomatización.
Proclo llama la atención en tres pasos que aparecen en las pruebas de Los Elementos: a) el enunciado, b) la demostración, c) la conclusión. Mismos principios que hasta la fecha permanecen invariantes.
Pues bien, de los cinco axiomas, el quinto o axioma de las paralelas, causó muchas dudas, de hecho el mismo Euclides no estaba seguro de si era un axioma o un teorema.
Una versión (de las muchas que existen) del axioma de las paralelas es la siguiente:
Dada una recta por un punto fuera de ella pasa una recta y sólo una recta paralela a la recta dada.
Muchos fueron los matemáticos de diferentes nacionalidades y épocas que trataron de dilucidar al respecto, pero no es hasta el siglo XIX que dos matemáticos crearon una nueva geometría, Nikolai Ivanovich Lobatchevsky (1793-1856), a la que llamó Geometría Imaginaria, y Janos Boyai (1802-1860) él la llama geometría absoluta, ellos publicaron independientemente presentaciones organizadas de una geometría no-euclideana sobre una base sintética deductiva con el entendimiento de que esta nueva geometría era lógicamente tan legítima como la de Euclides, sus axiomas son: Los cuatro primeros axiomas de Euclides y su quinto axioma es:
Por un punto fuera de una recta pasa más de una línea paralela.
Inicialmente ellos trataron de encontrar alguna contradicción o inconsistencia, sin embargo no encontraron ninguna, por lo cual el modelo era una nueva geometría, las reacciones no se hicieron esperar, catalogando a esta nueva geometría como un simple ejercicio lógico que no servía para nada. Sin embargo, a lo largo del siglo XIX, con esta nueva geometría se habían rebasado ampliamente los límites de la experiencia física, se había transgredido finalmente la vieja regla aristotélica que confinaba a la geometría a las tres dimensiones del espacio, el acto de abstracción tiene la finalidad de hacernos conscientes de una relación considerada en sí y por sí, independientemente de los casos particulares a los que se puede aplicar.
Louis Weber, decía:
“Las geometrías no euclidianas habían tenido el efecto de despojar a la intuición espacial de ese carácter apodíctico que la volvía absoluta y eternamente necesaria para todos los espíritus, la desaparición de los a priori era no sólo visible en las acreditadas geometrías antes mencionadas”.
Con satisfacción se tomaba nota de que a lo largo del siglo XIX la geometría y el análisis fueron objeto de una paciente elaboración que debía eliminar cada vez más la intuición, y depositar el valor demostrativo de esas ciencias en los elementos del pensamiento puro.
Años después Albert Einstein al tratar de fundamentar su teoría de la relatividad encontró que el modelo matemático que necesitaba en su teoría era la geometría hiperbólica. Para muchos, como Weber, este hecho es el parteaguas en el desarrollo de la matemática moderna, pues la matemática no deberá buscar la justificación de su existencia en otras ciencias, la matemática tiene vida propia.
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