Johannes Kepler: Pionero de la Cristalografía

Johannes Kepler (1571-1630) fue, entre múltiples oficios, un cristalógrafo pionero, y el Año Internacional de la Cristalografía festeja los 400 años de sus contribuciones al campo, ahora conocido como “cristalografía geométrica”. Kepler intuyó una relación esencial, de naturaleza geométrica, entre la forma hexagonal de los copos de nieve, y la estructura interna del agua sólida (el hielo). Tal visión, dos siglos antes del modelo atómico de Dalton, y tres siglos antes de la determinación de la estructura del hielo a escala atómica por Linus Pauling, es remarcable. Cuando el agua cristaliza, las moléculas se arreglan efectivamente en un patrón regular, de simetría hexagonal.

En realidad, Kepler no llegó a sus resultados proféticos por azar. Fueron sus conocimientos en geometría que le permitieron conectar el mundo microscópico con el macroscópico, conexión ahora común en el trabajo diario de los cristalógrafos, cuando ellos determinan la disposición espacial de los átomos en un fármaco a partir de una muestra del mismo, estabilizada en forma de cristal. No ven, ni nunca verán los átomos, pero sí ven el cristal a simple vista. La cristalografía moderna relaciona estos dos mundos, tan seguramente como el médico diagnostica una fractura sin ver ningún hueso, basándose en una radiografía.

Kepler había observado que el arreglo con mayor densidad de unos discos idénticos sobre un plano se alcanza cuando cada disco está en contacto con seis discos, de tal manera que los puntos de contacto se encuentran en los vértices de un hexágono regular. Los discos ocupan entonces 91 por ciento de la superficie plana disponible (el valor exacto es 100×π/√12 %), y no hay manera de ocupar más espacio, a menos que se permita traslapes entre discos.

Determinar de manera empírica este factor de ocupación de 91 por ciento, por ejemplo usando discos de cartón de masa o superficie conocida, no es complicado. De hecho, las abejas, al construir panales con celdillas de sección hexagonal, aplican este principio para ahorrar cera. De manera similar, las “partículas de agua” de Kepler, al bajar la temperatura, se ordenan bajo una simetría hexagonal para ocupar lo más densamente posible el espacio disponible, formando un copo sólido. Kepler también pensaba que estas partículas eran esféricas, así que investigó un problema similar al ordenamiento de discos en el plano. Conjeturó que el apilamiento óptimo de esferas de radios idénticos en un espacio tridimensional conduce a poner en contacto cada esfera con doce esferas vecinas, en un arreglo de simetría cúbica o hexagonal, resultando en una fracción del espacio ocupado de 74 por ciento (el valor exacto es 100×π/√18 %). De nuevo, la conjetura de Kepler resultó ser un extraordinario acierto: ocurre que la estructura cristalina de ciertos metales, como el cobalto, el cobre o el aluminio, corresponde precisamente a este ordenamiento óptimo para la ocupación del volumen disponible por los átomos, considerados como esferas. La comprobación experimental de esta frontera de 74 por ciento es sencilla. Basta observar pirámides de naranjas en el tianguis o llenar una caja de forma cúbica con el número más grande posible de esferas de unicel. En una caja de 1 metro cúbico no se puede transportar más de 0.74 metros cúbicos de esferas idénticas, independientemente del tamaño de estas.

Si es fácil determinar de manera empírica la densidad máxima de un apilamiento de discos o esferas idénticas, es mucho más difícil demostrar que no existe un arreglo de densidad mayor entre todos los arreglos posibles. De hecho, la conjetura de Kepler aparece en la lista de problemas por resolver, propuesta en 1900 por el matemático David Hilbert. El enunciado del problema es corto: “¿cuál es el apilamiento compacto más denso?”, mientras la solución para el caso de las esferas, publicada en 1998 por Thomas Hales y su alumno de doctorado Samuel Ferguson, se extiende sobre 282 páginas, sin contar los anexos. La longitud de la prueba del teorema tiene como consecuencia extraña que la comprobación de su validez sea más ardua que la prueba misma. Para eliminar este defecto, Thomas Thales impulsó un proyecto de prueba formal de la conjetura, dónde un programa computacional, trabajando con inferencias lógicas, comprueba cada uno de los pasos elementales de la prueba, desde el primero hasta el último. El número de pasos ya no es un problema, aunque sea inmenso: HOL (así se llama el programa) se ocupa de todo, hasta el último paso, el cual afirma: “la conjetura de Kepler es verdadera”.

¿Por qué demostrar la conjetura de Kepler, si el mismo Hilbert comentaba que era obviamente correcta? ¿Por qué gastar miles de horas de computación, cuando, al preguntar a un puestero de Plymouth si le resultaba difícil encontrar el mejor apilamiento para las naranjas, contestó: “Mi papá me lo enseñó a los cuatro años. Se colocan una encima de la otra. Comprobarlo toma dos segundos”? Tal vez para entender la naturaleza de la brecha enorme que existe entre intuición y demostración. Y así, tal vez, poder reflexionar como lo hacía Johannes Kepler cuando observaba copos de nieve.

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